Родился в селе Ломакино, ныне Гагинского муниципального округа Нижегородской области. Окончил кораблестроительный факультет Горьковского индустриального института (ныне Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, 1945 г.). Работал в научно-исследовательской гидродинамической лаборатории (НИГЛ) на заводе «Красное Сормово» (ныне – ЦКБ по судам на подводных крыльях им. Р.Е. Алексеева): конструктор, заместитель начальника НИГЛ, заместитель главного конструктора ЦКБ по СПК. Внёс огромный вклад в создание первого образца катера на подводных крыльях. Он глубоко изучал проблему значительного увеличения скорости движения судов, проводил исследования гидродинамики подводного крыла, конструкции корпуса и многие другие вопросы. Принимал активное участие в создании скоростных пассажирских судов – «Ракета», «Метеор», «Комета», «Спутник», «Вихрь», «Беларусь», «Чайка». Лауреат Сталинской премии (1951) – за разработку судов на подводных крыльях. Лауреат Ленинской премии (1962) – за создание скоростных пассажирских речных судов на подводных крыльях. В 1964 году был издан труд Н.А. Зайцева в соавторстве с А.И. Маскалик «Отечественные суда на подводных крыльях». Награды: орден Трудового Красного Знамени (1966). Память: в 1973 году СПК «Метеор-68» Волжского объединенного речного пароходства стал называться «Инженер Зайцев». В 1982 году его именем была названа улица в Сормовском районе города Горького. В 1991 году имя Зайцева присвоено Центральной Сормовской районной детской библиотеке.
Место захоронения: г. Нижний Новгород Бугровское кладбище, 5 квартал